Робоча програма курсу

"Векторний і тензорний аналіз"

для студентів ІІ курсу фізичного факультету (спеціальність "фізика").

3 семестр

I. ПРОГРАМА КУРСУ ЛЕКЦІЙ (18 год.)

1.Прямокутні системи координат (2 год.)
1.1. Перетворення прямокутних координат точки при перетвореннях систем координат. Властивості коефіцієнтів перетворення. Перетворення компонент вектора при переході від однієї прямокутної системи координат до іншої. (1 год.)
1.2. Елементи векторної алгебри. Псевдовеличини. (1 год.)

2.Скалярні та векторні поля (2 год.).
2.1. Поверхні та лінії рівня. Вектор-функція скалярного аргументу і її похідна. (1 год.)
2.2. Похідна від скалярного поля по напрямку. (1 год.)

3.Диференціальні операції векторного аналізу (5 год.)
3.1. Ґрадієнт скалярного поля, його властивості. (1 год.)
3.2. Потік векторного поля через поверхню, його властивості. Дивергенція векторного поля. Властивості дивергенції. (1 год.)
3.3. Теорема Остроградського-Гауса. Лінійний інтеграл від вектора. Потенціальне векторне поле. (1 год.)
3.4. Ротор вектора. Теорема Стокса і її використання у фізиці. (1 год.)
3.5. Деякі формули векторного аналізу. Рівняння Лапласа. Соленоїдальні поля. (1 год.)

4.Косокутні системи координат (2 год.)
4.1. Косокутні системи координат. Узагальнені проекції та узагальнені складові вектора. Масштабні та дуальні вектори. Метричний тензор в косокутних координатах. Скалярний і векторний добутки в косокутних координатах. Піднімання і опускання індексів. (1 год.)
4.2. Правила індексів, приклади їхнього застосування. Перетворення координат і компонент вектора при переході від однієї косокутної системи координат до іншої. (1 год.)

5.Тензори та їх властивості (3 год.).
5.1. Скаляри, вектори і тензори в косокутних системах координат. Загальні властивості тензорів довільного рангу. (1 год.)
5.2. Трансформаційні властивості компонент метричного тензора при переході від однієї до іншої системи координат. Згортання тензорів. (1 год.)
5.3. Деякі властивості тензорів 2-го рангу. Подвійна згортка добутку симетричного і антисиметричного тензорів 2-го рангу. Диференціальні операції над тензорами. Векторна дивергенція тензора. (1 год.)

6.Криволінійні системи координат (4 год.).
6.1. Масштабні та дуальні вектори в криволінійних системах координат. Метричний тензор в криволінійних координатах. (1 год.)
6.2. Перетворення криволінійних координат при переході від однієї системи координат до іншої. Тензори в криволінійних системах координат. Метричні простори. (1 год.)
6.3. Задача про паралельне перенесення вектора. Символи Крістоффеля. Класифікація просторів. (1 год.)
6.4. Коваріантне диференціювання. Диференціальні операції в метричних просторах. (1 год.)

II. ПРОГРАМА ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ (18 год.)

1. Найпростіші формули векторного числення (2 год.).
2. Вектор-функція скалярного аргументу і її похідна. Головна нормаль. Кривизна кривої (1 год.).
3. Похідна від скалярного поля по напрямку (2 год.).
4. Обчислення ґрадієнта скалярного поля (2 год.).
5. Обчислення дивергенції векторних полів (2 год.).
6. Обчислення ротора векторних полів (2 год.).
7. Обчислення дії оператора Лапласа на скалярні функції (1 год.).
8. Обчислення поверхневих та лінійних інтегралів (2 год.).
9. Косокутні координати (2 год.).
10.Криволінійні координати (2 год.).

ЛІТЕРАТУРА

Сеньків М. Т. Векторний і тензорний аналіз. Львів: вид-во Львів. ун-ту, 1990, 148 с.
Краснов М. Л. Векторний аналіз. М.: Наука, 1978, 160 с.
В. В. Батыгин, И. Н. Топтыгин. Сборник задач по электродинамике. М.: "Физматгиз", 1962, 480 с.

Уклав ас. Кнігініцький О.В.