Робоча програма курсу

"Методи математичної фізики"

для ІІІ курсу ("радіофізика", "прикладна фізика") лекційних — 54 год, практичних — 36 год.

5 семестр

ПРОГРАМА КУРСУ ЛЕКЦІЙ

І. Теорія функції комплексної змінної (28 год)
1. Комплексні числа і дії над ними. (2 год)
2. Послідовність та границя послідовності комплексних чисел. Поняття функції комплексної змінної. Неперервність. Область. (2 год)
3. Похідна функції комплексної змінної (умови Коші-Рімана). Аналітичність. Геометричний зміст модуля і аргумент похідної функції комплексної змінної. Конформне відображення. (4 год)
4. Інтегрування функції комплексної змінної. Теорема Коші. Наслідки. (2 год)
5. Інтеграл Коші. Властивості аналітичних функцій. (2 год)
6. Перетворення Гільберта. (2 год)
7. Ряди у комплексній площині. Теорема Вейєрштраса. (2 год)
8. Степеневі ряди. Теорема Абеля. Ряди Тейлора. (2 год)
9. Єдиність аналітичної функції. Аналітичне продовження. (2 год)
10. Ряди Лорана. Класифікація ізольованих особливих точок. (2 год)
11. Лишки. Основна теорема теорії лишків. Обчислення лишків у випадку полюса. (2 год)
12. Обчислення означених інтегралів за допомогою теорії лишків. (2 год)
13. Елементи операційного числення. (2 год)

ІІ. Рівняння математичної фізики.
Спеціальні функції і ортогональні поліноми (26 год)
1. Класифікація рівнянь математичної фізики. (2 год)
2. Одномірне хвильове рівняння. Коливання нескінченої струни (метод характеристик). Коливання напівбезмежної струни з закріпленим кінцем. (2 год)
5. Коливання скінченої струни з закріпленими кінцями. Метод розділення змінних і задача Штурма-Ліувілля. Коливання скінченої струни під дією зовнішньої сили. Метод Фур'є. (2 год)
6. Одномірне рівняння теплопровідності. Початкова та граничні умови. Поширення тепла в скінченому стержні. Однорідні умови 1-го та 3-го роду. Приведення задачі про поширення тепла в скінченому стержні з неоднорідними умовами до задачі з однорідними умовами та її розв'язок. (2 год)
9. Поширення тепла в безмежному та напівбезмежному стержнях. Функція Гріна. (2 год)
11. Рівняння еліптичного типу. Рівняння Лапласа та Пуасона. Типи краєвих задач. Задача Діріхле для прямокутної області. (2 год)
12. Внутрішня задача Діріхле для круга. Інтеграл Пуасона. (2 год)
13. Метод функцій Гріна розв'язку краєвих задач. (2 год)
15. Розв'язування задачі Діріхле для круга за допомогою функції Гріна. (2 год)
16. Внутрішня задача Діріхле для кулі. Поліноми Лєжандра та їх властивості. (2 год)
18. Приєднані поліноми Лєжандра. Сферичні функції. (2 год)
19. Поліноми Ерміта і їх властивості. (2 год)
20. Поліноми Лагера і їх властивості. (2 год)

ЗМІСТ ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ (34 год.)


1. Комплексні числа і дії над ними (2 год)
2. Модуль, арґумент комплексного числа. Формула Муавра. Корінь n-го степеня із комплексного числа (2 год)
3. Функція комплексної змінної. Основні елементарні функції (2 год)
4. Послідовність комплексних чисел. Границя. Неперервність функції комплексної змінної. Окіл. Область (2 год)
5. Диференціювання функції комплексної змінної. Умови Коші-Рімана. Аналітичність функції в точці та області (2 год)
6. Інтеґрування функції комплексної змінної (1 год)
   Випадок аналітичних функцій (1 год)
7. Інтеґральна формула Коші (2 год)
8. Ряди в комплексній області. Степеневі ряди. Ряд Тейлора. Властивості збіжності (2 год)
9. Ряд Лорана. Розвинення функцій в ряд Лорана (2 год)
10. Нулі функцій. Ізольовані особливі точки. Лишки і обчислення лишків (2 год)
11. Теорема Коші про лишки. Інтеґрування функцій комплексної змінної за допомогою теореми Коші про лишки (2 год)
12. Застосування теореми Коші про лишки до інтеґрування функцій дійсної змінної (2 год)
13. Класифікація рівнянь математичної фізики. Випадок двох незалежних змінних. Зведення до канонічної форми (2 год)
14. Загальний розв’язок рівняння гіперболічного типу. Характеристики (2 год)
15. Змішана задача для рівняння гіперболічного типу. (2 год)
16. Змішана задача для рівняння параболічного типу. (2 год)
17. Метод відокремлення змінних для рівнянь еліптичного типу. Метод інтеґральних перетворень. (2 год)

ЛІТЕРАТУРА

  1. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной, 1967.
  2. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного, 1960.
  3. Фукс Б. А., Шабат Б. В. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения, 1959.
  4. Маркушевич А. И., Маркушевич Л. А. Введение в теорию аналитических функций, 1977.
  5. Волковыский Л. И., Лунц Г. Л., Араманович И. Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного.
  6. Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости, 1981.
  7. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики, 1951 і наступні.
  8. Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров, 1985.
  9. Араманович И. Г., Левин В. И. Уравнения математической физики, 1969.

 

Уклав доц. Попель О. М. v