2 семестр

ПРОГРАМА КУРСУ ЛЕКЦІЙ (34 год.)

Вступ (2 год.).
Множини. Відображення. Алгебраїчні структури: група, абелева група, кільце, поле, модуль, лінійний простір, алгебра, алгебра Лі.

І. Лінійні простори (8 год.).

1. Означення лінійного простору. Приклади лінійних просторів (простір векторів на прямій, площині, у просторі; поле чисел як простір). Дійсний і комплексний лінійний простір. Лінійна (не)залежність векторів. Вимір і базис лінійного простору. Координати вектора в базисі (2 год.).
2. Лінійна оболонка векторів. Лінійні підпростори. Теорема про продовження базису. Монотонність виміру. Внутрішня пряма сума. Розклад простору у пряму суму. Пряме доповнення. Прямий добуток просторів. Зовнішня пряма сума лінійних просторів (2 год.).
3. Лінійні відображення, їх приклади (тотожне, нульове, гомотетія, відображення в поле чисел, лінійний оператор). Простір лінійних відображень. Ізоморфізм лінійних просторів. Дуальні (спряжені, взаємні) базиси. Двічі спряжений простір. Канонічний ізоморфізм. Ядро і образ лінійного відображення (2 год.).
4. Заміна базису як дія лінійного оператора. Матриця лінійного оператора. Композиція відображень і добуток матриць. Матриця лінійного відображення. Активна і пасивна інтерпретація перетворення (2 год.).

II. Лінійні оператори (4 год.).

1. Матриця лінійного оператора. Простір матриць. Композиція операторів і добуток їх матриць. Асоціативна алгебра лінійних операторів. Асоціативна алгебра матриць. Обернений оператор. Обернена матриця. Критерій існування оберненого оператора. Група невироджених операторів. Матричні групи. Проектор як оператор. Матриця проектора (2 год.).
2. Теореми про ранґ добутку операторів. Інваріантність рангу. Інваріантність детермінанта матриці оператора. Слід матриці оператора. Структура лінійного оператора. Інваріантний підпростір. Діагоналізовний оператор. Характеристичний многочлен оператора, його незалежність від базису. Власні значення оператора (2 год.).

ІІІ. Простори з білінійними формами (8 год.).

1. Білінійні форми. Зображення білінійної форми у базисі. Ранг білінійної форми. Симетричні та антисиметричні білінійні форми та їх матриці (2 год.).
2. Полярна квадратична форма (поляризація квадратичної форми). Властивості додатньовизначеної квадратичної форми. Закон інерції квадратичних форм. Класифікація квадратичних форм. Критерій Сильвестра (2 год.).
3. Скалярний добуток у дійсному просторів як білінійна форма. Півторалінійна форма. Матриця Грама базису щодо скалярного добутку. Напівлінійне відображення. Розклад простору у пряму суму попарно- ортогональних підпросторів (2 год.).
4. Евклідів скалярний добуток, його властивості. Евклідів простір. Довжина вектора. Нерівність Коші-Буняковського. Кут між векторами. Віддаль між векторами (2 год.).

IV. Тензорна алгебра (6 год.).

1. Полілінійні відображення. Полілінійні форми. Коваріантні тензори та їх компоненти. Ранг тензора. Перетворення компонент коваріантного тензора при зміні базису. Скалярний добуток як коваріантний тензор (2 год.).
2. Контраваріантні тензори та їх компоненти. Перетворення компонент контраваріантного тензора при зміні базису. Мішані тензори та їх компоненти. Перетворення компонент мішаного тензора про зміні базису (2 год.).
3. Тензори в евклідовому просторі. Піднімання і опускання індекса. Компоненти тензорів в ортонормованому базисі. Символ Леві-Чівіта. Векторний добуток. Властивості символів Леві-Чівіта (2 год.).

V. Елементи векторного числення (6 год.)

1. Криволінійні координати. Локальний базис. Метричний тензор у криволінійних координатах. Коефіцієнти Ляме. Сферичні та циліндричні координати. Геометрія квадратичних форм. Класифікація поверхонь другого степеня (2 год.).
2. Векторне поле. Контраваріантні і коваріантні векторні поля. Інтегральні криві векторного поля. Похідна від скалярного поля за напрямом. Градієнт скалярного поля. Властивості градієнта. Геометричний зміст вектора градієнта. Градієнт і поверхні рівня (2 год.).
3. Похідна від векторного поля за напрямом. Потенціальне векторне поле. Інтеграл від векторного поля взовж кривої. Циркуляція векторного поля. Потік векторного поля. Дивергенція. Соленоїдальне поле. Теорема Гріна. Ротор векторного поля. Компоненти ротора в термінах символу Леві-Чевіта (2 год.).

ЗМІСТ ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ (34 год.)

1. Множини, відображення і їх властивості (2 год.).
2. Дослідження лінійних просторів (4 год.).
3. Лінійні оператори, їх властивості (4 год.).
4. Знаходження власних значень і власних векторів (4 год.).
5. Білінійні форми, скалярні добутки (4 год.).
6. Тензори і їх властивості (4 год.).
7. Криволінійні координати (4 год.).
8. Диференціювання тензорних полів (4 год.).
9. Інтегральні векторні теореми і їх застосування (4 год.).

ЛІТЕРАТУРА

1. А.И.Кострикин, Ю.И.Манин. Линейная алгебра и геометрия.— М., 1980.
2. М.Т.Сеньків. Векторний і тензорний аналіз.— Львів,1991.

Уклав ас. Криницький Ю. С.